Question

13．?用辗转相除法求5280和12155的最大公约数，并用更相减损术检验．?先将412_（5）化成十进制的数，然后用“除k取余法”再化成七进制的数．

Answer 1

分析 用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数．先把5进制的数412_（5）化为十进制数再变为七进制数，用除k取余法，即可得解．

解答 解：用辗转相除法求5280和12155的最大公约数，
12155=2×5280+1595
5280=3×1595+495
1595=3×495+110
495=4×110+55
110=2×55
5280和12155的最大公约数为55．
检验：12155-5280=6875，
6875-5280=1595，
5280-1595=3685，
3685-1595=2090，
2090-1595=495，
1595-495=1100，
1100-495=605，
605-495=110，
495-110=385，
385-110=275，
275-110=165，
165-110=55，
110-55=55．
经检验：5280和12155的最大公约数为55．
412_（5）=2×5⁰+1×5¹+4×5²=2+5+4×25=107，
∵107=2×7⁰+1×7¹+2×7 ²
∴把5进制的数412_（5）化为7进制是212_（7）．

点评 本题考查的知识点是辗转相除法，其中熟练掌握辗转相除法和更相减损术求两个正整数最大公约数的步骤是解答本题的关键．还考查进位制之间的换算，熟练掌握进行制的变化规律是正确解题的要诀．