Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y=±

3

x，O为坐标原点，点M(

5

，

3

)在双曲线上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且

OP

⊥

OQ

，求|OP|²+|OQ|²的最小值．

Answer 1

分析：（1）由渐近线方程可得关于a、b的一个方程，再把点M(

5

，

3

)代入双曲线的方程又得到关于a、b的一个方程，将以上方程联立即可解得a、b的值；
（2）利用

OP

⊥

OQ

?

OP

•

OQ

=0、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式即可求出．

解答：解：（1）双曲线C的渐近线方程为y=±

3

x，
∴b²=3a²，
∵点M(

5

，

3

)在双曲线上，∴

5

a2

-

3

b2

=1，
联立得

b2=3a2 5 a2 - 3 b2 =1

，解得

a2=4 b2=12

，
∴双曲线C的方程为

x2

4

-

y2

12

=1．
（2）设直线PQ的方程为y=kx+m，点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为（3-k²）x²-2kmx-m²-12=0
∴

3-k2≠0 △=(-2km)2-4(3-k2)(-m2-12)＞0

（*）
x1+x2=

2km

3-k2

，x1x2=

-m2-12

3-k2

，
由

OP

•

OQ

=0⇒x1•x2+y1•y2=0，
把y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m代入上式可得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
∴(1+k2)

-m2-12

3-k2

+km

2km

3-k2

+m2=0，
化简得m²=6k²+6．
|OP|2+|OQ|2=|PQ|2=(1+k2)[(x1+

x

2

)2-4x1x2]=24+

384k2

(k2-3)2

，
当k=0时，|PQ|2=24+

384k2

(k2-3)2

≥24成立，且满足（*）
又∵当直线PQ垂直x轴时，|PQ|²＞24，
∴|OP|²+|OQ|²的最小值是24．

点评：熟练掌握待定系数法求圆锥曲线的方程、

OP

⊥

OQ

?

OP

•

OQ

=0、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式是解题的关键．