Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=2

3

，b=2，cosA=-

1

2

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若f（x）=cos2x+csin²（x+B），求函数f（x）的最小正周期和单增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据cosA的值小于0，得到A为钝角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，然后由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，根据B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）由a，b及cosB的值，利用余弦定理即可求出c的值，把求出的c和求出的B的值代入到f（x）中，利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦、余弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据周期的公式即可求出函数的最小正周期，由正弦函数的单调递增区间即可求出f（x）的单调增区间．

解答：解：（Ⅰ）由cosA=-

1

2

＜0，A∈（

π

2

，π），得到sinA=

3

2

，又a=2

3

，b=2，（2分）
由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

，则sinB=

1

2

，因为A为钝角，所以B=

π

6

；（5分）
（Ⅱ）由a=2

3

，b=2，cosB=

3

2

，
根据余弦定理得：2²=c²+12-4

3

c•

3

2

，即（c-2）（c-4）=0，
解得c=2或c=4，由A为三角形的最大角，得到a=2

3

为最大边，所以c=4舍去，
故c=2，（6分）
把c=2代入得：f(x)=cos2x+2sin2(x+

π

6

)
=cos2x-cos(2x+

π

3

)+1
=cos2x-

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+1
=sin(2x+

π

6

)+1，（10分）
则所求函数的最小正周期为π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
则所求函数的单增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．（13分）

点评：此题考查学生灵活运用正弦．余弦定理化简求值，灵活运用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的单调性，是一道中档题．学生求B度数的时候注意A为钝角这个隐含条件．