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设函数

(1)若函数上为减函数,求实数的最小值;

(2)若存在,使成立,求实数的取值范围.

 

(1)a的最小值为;(2)

【解析】

试题分析:(1)根据f (x)在上为减函数,得到上恒成立.转化成时,

应用导数确定其最大值为

(2)应用“转化与化归思想”,对命题进行一系列的转化,“若存在使成立”等价于“当时,有”.

由(1)问题等价于:“当时,有”.

讨论①当时,②当<时, ,作出结论.

(1)由已知得x>0,x≠1.

因f (x)在上为减函数,故上恒成立. 1分

所以当时,

, 2分

故当,即时,

所以于是,故a的最小值为. 4分

(2)命题“若存在使成立”等价于

“当时,有”. 5分

由(1),当时,

问题等价于:“当时,有”. 6分

①当时,由(1),上为减函数,

=,故. 8分

②当<时,由于上的值域为

(ⅰ),即恒成立,故上为增函数,

于是,,矛盾. 10分

(ⅱ),即,由的单调性和值域知,

存在唯一,使,且满足:

时,为减函数;当时,为增函数;

所以, 12分

所以,,与矛盾. 13分

综上,得 14分

考点:应用导数研究函数的单调性、最(极)值,转化与化归思想,分类讨论思想,应用导数研究不等式恒成立问题.

 

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