设函数.
(1)若函数在上为减函数,求实数的最小值;
(2)若存在,使成立,求实数的取值范围.
(1)a的最小值为;(2).
【解析】
试题分析:(1)根据f (x)在上为减函数,得到在上恒成立.转化成时,.
应用导数确定其最大值为.
(2)应用“转化与化归思想”,对命题进行一系列的转化,“若存在使成立”等价于“当时,有”.
由(1)问题等价于:“当时,有”.
讨论①当时,②当<时, ,作出结论.
(1)由已知得x>0,x≠1.
因f (x)在上为减函数,故在上恒成立. 1分
所以当时,.
又, 2分
故当,即时,.
所以于是,故a的最小值为. 4分
(2)命题“若存在使成立”等价于
“当时,有”. 5分
由(1),当时,,.
问题等价于:“当时,有”. 6分
①当时,由(1),在上为减函数,
则=,故. 8分
②当<时,由于在上的值域为
(ⅰ),即,在恒成立,故在上为增函数,
于是,,矛盾. 10分
(ⅱ),即,由的单调性和值域知,
存在唯一,使,且满足:
当时,,为减函数;当时,,为增函数;
所以,, 12分
所以,,与矛盾. 13分
综上,得 14分
考点:应用导数研究函数的单调性、最(极)值,转化与化归思想,分类讨论思想,应用导数研究不等式恒成立问题.
科目:高中数学 来源:2013-2014学年山东省日照市高三3月第一次模拟考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知数列是首项为,公比的等比数列,设.
(1)求证数列的前n项和;
(2)若对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年山东省德州市高三第二次模拟考试理科数学试卷(解析版) 题型:填空题
以下四个命题中:
①为了解600名学生对学校某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为30的样本,考虑用系统抽样,则分段的间隔k为30;
②直线y=kx与圆恒有公共点;
③在某项测量中,测量结果服从正态分布N(2,)(>0).若在(-∞,1)内取值的概率为0.15,则在(2,3)内取值的概率为0.7;
④若双曲线的渐近线方程为,则k=1.
其中正确命题的序号是 .
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年山东省德州市高三第二次模拟考试文科数学试卷(解析版) 题型:选择题
已知是定义在R上的偶函数,且在[0,+)上单调递增,则满足f(m)<f(1)的实数m的范围是
A.l<m<0
B.0<m<1
C.l<m<1
D.l≤m≤1
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年山东省东营市高三4月统一质量检测考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
在中,角所对的边为,且满足
(1)求角的值;
(2)若且,求的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年山东省东营市高三4月统一质量检测考试理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
偶函数满足,且在时,,则关于的方程在上的根的个数是
A.3 B.4 C.5 D.6
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年山东省东营市高三4月统一质量检测考试文科数学试卷(解析版) 题型:填空题
已知三点在球心为的球面上,,,球心到平面的距离为,则球的表面积为 _ ______ .
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