Question

如图，AB是圆O的直径，AB=2，点C在圆O上，且∠ABC=60°，V到圆O所在的平面的距离为3，且VC垂直于圆O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点．
（1）求证：DE⊥平面VBC；
（2）求三棱锥V-ABC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得AC⊥BC，VC⊥AC，从而AC⊥平面VBC，由此能证明DE⊥平面VBC．
（2）由已知得S△ABC=

1

2

×1×

3

=

3

2

，V到圆O所在的平面的距离为3，由此能求出三棱锥V-ABC的体积．

解答： （1）证明：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∵VC垂直于圆O所在的平面，∴VC⊥AC，
又BC∩VC=C，∴AC⊥平面VBC，
∵D，E分别是VA，VC的中点，∴DE∥AC，
∴DE⊥平面VBC．
（2）解：∵AB=2，点C在圆O上，且∠ABC=60°，
∴BC=1，AC=

3

，∴S△ABC=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
∵V到圆O所在的平面的距离为3，
∴三棱锥V-ABC的体积V_V-ABC=

1

3

×3×

3

2

=

3

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．