Question

【题目】已知{an}是各项均为正数的数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，a5﹣3b2=7.2a +（2﹣an+1）an﹣an+1=0（n∈N*）
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn=anbn ， n∈N* ， 求数列{cn}的前n项和．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得：an+1（an+1）=2an（an+1）．

∵因为{an}的各项都为正数，∴ ．

故{an}是首项为1，公比为2的等比数列，

因此数列{an}的通项公式为 ．

设数列{bn}的公差为d，由a5﹣3b2=7，b1=1得d=2，

∴数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*

（2）解：由（1）知cn=（2n﹣1）2n﹣1，设{cn}的前n项和为Sn，

则Sn=1×20+3×21+5×22+…+（2n﹣3）×2n﹣2+（2n﹣1）×2n﹣1，

2Sn=1×21+3×22+5×23+…+（2n﹣3）×2n﹣1+（2n﹣1）×2n，

上述两式相减，得

﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣（2n﹣1）×2n

=2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n

=﹣（2n﹣3）×2n﹣3，

所以Sn=（2n﹣3）2n+3，n∈N*

【解析】（1）利用 得：an+1（an+1）=2an（an+1）．根据{an}的各项都为正数，可得 ．再利用等比数列的通项公式可得an ． 再利用等差数列的通项公式可得bn ． （2）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．