Question

已知椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴的一个端点为M(0，1)，直线l：y＝kx－与椭圆相交于不同的两点A、B.
(1)若AB＝，求k的值；
(2)求证：不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.

Answer 1

（1）k＝±1.（2）见解析

(1)解：由题意知＝，b＝1.由a²＝b²＋c²可得c＝b＝1，a＝，
∴椭圆的方程为＋y²＝1.由得(2k²＋1)x²－kx－＝0.
Δ＝k²－4(2k²＋1)×＝16k²＋＞0恒成立，
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁＋x₂＝，x₁x₂＝－.
∴AB＝·|x₁－x₂|＝，化简得23k⁴－13k²－10＝0，即(k²－1)(23k²＋10)＝0，解得k＝±1.
(2)证明：∵＝(x₁，y₁－1)，＝(x₂，y₂－1)，
∴＝x₁x₂＋(y₁－1)(y₂－1)＝(1＋k²)x₁x₂－k(x₁＋x₂)＋＝－－＋＝0.∴不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.