Question

给出四个命题：
①存在一个△ABC，使得sinA+cosA=-1；
②△ABC中，A＞B的充要条件为sinA＞sinB；
③直线x=

π

8

是函数y=sin（2x+

5π

4

）图象的一条对称轴；
④△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC一定是等腰三角形．
则其中正确命题的序号为

②③

．

Answer 1

分析：①△ABC中，若sinA+cosA=-1，两边同时平方可得sinAcosA=0，结合sinA+cosA=-1可判断；
②由A＞B．?a＞b?2RsinA＞2RsinB；
③由于函数y=sin（2x+

5π

4

）的对称轴为：2x+

5π

4

=kπ+

π

2

，从而可判断；
④由两角的正弦值相等及A和B为三角形的内角，得到两角2A和2B相等或互补，即A与B相等或互余，进而确定出三角形的形状．

解答：解：①△ABC中，若sinA+cosA=-1，两边同时平方可得1+2sinAcosA=1
∴sinAcosA=0
若sinA=0，则cosA=-1，A 不存在；若cosA=0，则sinA=-1，A不存在故①错误
②由A＞B．三角形的大边对大角可得a＞b，再由正弦定理可得，2RsinA＞2RsinB，即sinA＞sinB，反之也成立，故②正确
③由于函数y=sin（2x+

5π

4

）的对称轴为：2x+

5π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，即x=

1

2

kπ-

3π

8

，令k=1可得函数的一条对称轴为x=

π

8

，故③正确
④因为sin2A=sin2B，且A和B为三角形的内角，则2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC一定是等腰或直角三角形，故④不正确．
故答案为：②③．

点评：本题主要考查了三角函数的同角平方关系、三角形的正弦定理及大边对大角的应用，以及三角函数的对称轴的求解，是函数与三角函数的知识的综合应用，属于中档题．