解:(1)由椭圆的定义可得2c=AB=6,c=3
在长方形ABCD,由AB=6,BC=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/1653.png)
可得AC=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/70725.png)
,
∴2a=CA+CB=8,a=4∴b
2=a
2-c
2=7
椭圆的方程为
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/8690.png)
…(5分)
(2)设M(x,y),其中x∈[-4,4].由已知
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/70724.png)
=λ,及点P在椭圆C上可得
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/70726.png)
.整理得((16λ
2-9)x
2+16λ
2y
2=112,x∈[-4,4]…(8分)
(i)
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/70727.png)
时.化简得9y
2=112
所以点M的轨迹方程为
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/70728.png)
,轨迹是两条平行于x轴的线段.
(ii)
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/70729.png)
时,方程变形为
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/70730.png)
,其中x∈[-4,4]
当
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/70731.png)
时,点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分.
当
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/70732.png)
时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分;
当λ≥1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆…(13分)
分析:(1)由椭圆的定义可得2c=AB可求c,在长方形ABCD,由AB=6,BC=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/1653.png)
可得AC,根据椭圆的定义可得,2a=CA+CB可求a,进而可求b及椭圆的方程
(2)设M(x,y),其中x∈[-4,4].由已知
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/70724.png)
=λ,及点P在椭圆C上可得((16λ
2-9)x
2+16λ
2y
2=112,x∈[-4,4],根据方程的特点,故讨论二次项系数16λ
2-9=0,16λ
2-9>0,16λ
2-9<0三种情况讨论,从而可得方程代表的曲线类型
点评:本题主要考查了利用椭圆的定义求解椭圆的参数a,c,b的值,进而求解椭圆的方程,及二次曲线表示椭圆、双曲线、圆的条件的考查.