【题目】已知抛物线的焦点F,C上一点到焦点的距离为5.
(1)求C的方程;
(2)过F作直线l,交C于A,B两点,若直线AB中点的纵坐标为,求直线l的方程.
【答案】(1).
(2).
【解析】
法一:利用已知条件列出方程组,求解即可
法二:利用抛物线的准线方程,由抛物线的定义列出方程,求解即可
法一:由可得抛物线焦点的坐标,设出两点的坐标,利用点差法,求出线段中点的纵坐标为,得到直线的斜率,求出直线方程
法二:设直线的方程为,联立直线与抛物线方程,设出两点的坐标,通过线段中点的纵坐标为,求出即可
法一:抛物线: 的焦点的坐标为,由已知
解得或∵,
∴∴的方程为.
法二:抛物线的准线方程为由抛物线的定义可知解得
∴的方程为.
2.法一:由(1)得抛物线C的方程为,焦点
设两点的坐标分别为,则
两式相减,整理得
∵线段中点的纵坐标为
∴直线的斜率
直线的方程为即
分法二:由(1)得抛物线的方程为,焦点
设直线的方程为由
消去,得设两点的坐标分别为,
∵线段中点的纵坐标为∴解得
直线的方程为即
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【题目】在某校矩形的航天知识竞赛中,参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1:3,且成绩分布在范围内,规定分数在80以上(含80)的同学获奖,按文理科用分层抽样的放发抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图.
(Ⅰ)填写下面的列联表,能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”;
(Ⅱ)将上述调查所得的频率视为概率,现从参赛学生中,任意抽取3名学生,记“获奖”学生人数为,求的分布列及数学期望.
附表及公式:,其中
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)当bn= (3an+1)时,求证:数列的前n项和Tn=.
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【题目】已知函数:f(x)=﹣x3﹣3x2+(1+a)x+b(a<0,b∈R).
(1)令h(x)=f(x﹣1)﹣b+a+3,判断h(x)的奇偶性,并讨论h(x)的单调性;
(2)若g(x)=|f(x)|,设M(a,b)为g(x)在[﹣2,0]的最大值,求M(a,b)的最小值.
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【题目】在平面几何里,有“若△ABC的三边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,则三角形面积为S△ABC= (a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为r,则四面体的体积为________”.
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【题目】以下说法正确的有( )
(1)y=x+ (x∈R)最小值为2;
(2)a2+b2≥2ab对a,b∈R恒成立;
(3)a>b>0且c>d>0,则必有ac>bd;
(4)命题“x∈R,使得x2+x+1≥0”的否定是“x∈R,使得x2+x+1≥0”;
(5)实数x>y是 < 成立的充要条件;
(6)设p,q为简单命题,若“p∨q”为假命题,则“¬p∨¬q”也为假命题.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
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【题目】某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求第3,4,5组的频率;
(2)为了了解最优秀学生的情况,该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,求第3,4,5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且a1=a(a∈R),an+1= ,n∈N*;
(1)若0<an≤6,求证:0<an+1≤6;
(2)若a=5,求S2016;
(3)若a= (m∈N*),求S4m+2的值.
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