Question

20．设一个正方体与底面边长为2$\sqrt{3}$，侧棱长为$\sqrt{10}$的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为2．

Answer 1

分析 由已知条件先求出正四棱锥的体积，再设该正方体的棱长为a，由正方体与正四棱锥的体积相等，能求出正方体的棱长．

解答 解：已知正四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2$\sqrt{3}$的正方形，SB=$\sqrt{10}$，
过S作SE⊥底面ABCD，垂足为E，过E作EF⊥BC，交BC于F，连结SF，
则EF=BF=$\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$，SF=$\sqrt{10-3}$=$\sqrt{7}$，SE=$\sqrt{7-3}$=2，
∴V_S-ABCD=$\frac{1}{3}×{S}_{正方形ABCD}×SE$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}×2$=8，
设该正方体的棱长为a，
∵一个正方体与底面边长为2$\sqrt{3}$，侧棱长为$\sqrt{10}$的正四棱锥的体积相等，
∴a³=8，解得a=2．
故答案为：2．

点评 本题考查正方体的棱长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正方体、正四棱锥的体积公式的合理运用．