Question

设V是全体平面向量构成的集合．若映射f：V→R满足：对任意向量a=（x₁，y₁）∈V，b=（x₂，y₂）∈V，以及任意λ∈R，均有f（λa+（1-λ）b）=λf（a）+（1-λ）f（b），则称映射f具有性质P．现给出如下映射：
①f₁：V→R，f₁（m）=x+y+1，m=（x，y）∈V；
②f₂：V→R，f₂（m）=x-y，m=（x，y）∈V；
③f₃：V→R，f₃（m）=x²+y，m=（x，y）∈V．
其中，具有性质P的映射的序号为

（2）

．（写出所有具有性质P的映射的序号）

Answer 1

分析：求出两个向量的和的坐标；分别对三个函数求f[λ a+（1-λ） b]与λf（ a）+（1-λ）f（ b）的值，判断哪个函数具有f[λ a+（1-λ） b]=λf（ a）+（1-λ）f（ b）即可．

解答：解：设 a=（x₁，y₁），b=（x₂，y₂），则λ a+（1-λ） b=（λx₁+（1-λ）x₂，λy₁+（1-λ）y₂），
对于①，f[λa+（1-λ）b]=λx₁+（1-λ）x₂+λy₁+（1-λ）y₂+1=λ（x₁+y₁）+（1-λ）（x₂+y₂）+1
而λf（ a）+（1-λ）f（ b）=λ（x₁+y₁+1）+（1-λ）（x₂+y₂+1）═λ（x₁+y₁）+（1-λ）（x₂+y₂）+1，
f₁满足性质p；
对于②，f[λ a+（1-λ） b]=λx₁+（1-λ）x₂-λy₁-（1-λ）y₂=λ（x₁-y₁）+（1-λ）（x₂-y₂）
而λf（ a）+（1-λ）f（ b）=λ（x₁-y₁）+（1-λ）（x₂-y₂），f₂满足性质P
对于③，f₂（λa+（1-λb））=[λx₁+（1-λ）x₂]²+[λy₁+（1-λ）y₂]，λf₂（a）+（1-λ）f₂（b）=λ（x₁²+y₁）+（1-λ）（x₂²+y²）
∴f₂（λa+（1-λb））≠λf₂（a）+（1-λ）f₂（b），∴映射f₃不具备性质P．
故答案为：①②

点评：本题考查理解题中的新定义、考查利用映射的法则求出相应的像．