Question

9．设α、β、γ表示平面，m、n表示直线，α∩β=m
（1）若n∥α，n∥β，求证：m∥n；
（2）若α⊥γ，β⊥γ，求证：m⊥γ

Answer 1

分析 （1）过n作平面θ，使θ∩β=b，θ∩α=a，由平行公理推导出a∥b，a∥m，由此能证明n∥m．
（2）设α∩γ=p，β∩γ=q，在m任意取一点P，过P在平面α内作PA⊥p，过P在平面β内作PB⊥q，PA，PB重合即为m，由此能证明m⊥γ．

解答 证明：（1）过n作平面θ，使θ∩β=b，θ∩α=a，
∴n∥β，∴n∥b，∵n∥α，∴n∥a，
∴a∥b．
∵b?平面α，∴b∥α，
∵a?平面α，α∩β=m，
∴a∥m，∴n∥m．
（2）设α∩γ=p，β∩γ=q，
∵平面α∩平面β=m，
∴在m任意取一点P，过P在平面α内作PA⊥p．
∵α⊥平面γ，α∩γ=p，
∴PA⊥γ，过P在平面β内作PB⊥q，
∵β⊥平面γ，β∩γ=q，
∴PB⊥γ，
∴PA，PB重合即为m，
∴m⊥γ．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．