已知函数满足,当时,,当时, 的最大值为-4.
(I)求实数的值;
(II)设,函数,.若对任意的,总存在,使,求实数的取值范围.
(I) ; (II)
【解析】
试题分析:(I) 因为函数满足,当,所以可得f(x)=2f(x+2)=4f(x+4)当x(-4,-2),则x+4(0,2)这样就可以f(x)=4f(x+4)=4ln(x+4)+4(x+4).所以通过求导可求出f(x)的导数,再根据的取值范围求出函数的单调区间即可求出最大值.从而解出的值.
(II)假设的值域为A,的值域为B,则由已知,对于任意的,使得,即函数f(x)值域的范围比函数g(x)值域的范围小即可.对于函数g(x)的单调性要考虑b的值.再根据,即可得结论.
试题解析:(I)由已知,得2f(x+2)=f(x),所以f(x)=2f(x+2)=4f(x+4).又因为x(0,2)时,f(x)=lnx+x.设x(-4,-2),则x+4(0,2).所以f(x+4)=ln(x+4)+ (x+4).所以x(-4,-2)时,f(x)=4f(x+4)=4ln(x+4)+4(x+4).所以.因为x(-4,-2).所以.因为.所以.又由可得.所以f(x)在上是增函数,在上是减函数.所以.所以.
(II)设的值域为A,的值域为B,则由已知,对于任意的,使得,.
由(I)=-1,当时,,,
∵,∴,在上单调递减函数,
∴的值域为 A=
∵,
∴(1)当时,在上是减函数,此时,的值域为,
为满足,又∴即. 12分
(2)当时,在上是单调递增函数,此时,的值域为,为满足,又,∴,∴,
综上可知b的取值范围是.
考点:1.函数的周期性问题.2.函数的最值.3.两个函数的值域的问题.4.含参数函数的最值问题.
科目:高中数学 来源:2013-2014学年安徽省宿州市高三上学期期末考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知函数满足,当时;当时.
(Ⅰ)求函数在(-1,1)上的单调区间;
(Ⅱ)若,求函数在上的零点个数.
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科目:高中数学 来源:2014届宁夏高三年级第一次月考文科数学试卷(解析版) 题型:选择题
已知函数满足,且是偶函数,当时,,若在区间[-1,3]内,函数有4个零点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省高三上学期第一次统练理科数学 题型:选择题
已知函数满足:①定义域为;②对任意,有;③当时,.则方程在区间内的解的个数
A.18 B.12 C.11 D.10
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