精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知函数满足,当时,,当时, 的最大值为-4.

(I)求实数的值;

(II)设,函数.若对任意的,总存在,使,求实数的取值范围.

 

【答案】

(I) ; (II)

【解析】

试题分析:(I) 因为函数满足,当,所以可得f(x)=2f(x+2)=4f(x+4)当x(-4,-2),则x+4(0,2)这样就可以f(x)=4f(x+4)=4ln(x+4)+4(x+4).所以通过求导可求出f(x)的导数,再根据的取值范围求出函数的单调区间即可求出最大值.从而解出的值.

(II)假设的值域为A,的值域为B,则由已知,对于任意的,使得,即函数f(x)值域的范围比函数g(x)值域的范围小即可.对于函数g(x)的单调性要考虑b的值.再根据,即可得结论.

试题解析:(I)由已知,得2f(x+2)=f(x),所以f(x)=2f(x+2)=4f(x+4).又因为x(0,2)时,f(x)=lnx+x.设x(-4,-2),则x+4(0,2).所以f(x+4)=ln(x+4)+ (x+4).所以x(-4,-2)时,f(x)=4f(x+4)=4ln(x+4)+4(x+4).所以.因为x(-4,-2).所以.因为.所以.又由可得.所以f(x)在上是增函数,在上是减函数.所以.所以.

(II)设的值域为A,的值域为B,则由已知,对于任意的,使得,. 

由(I)=-1,当时,,,

,∴上单调递减函数,

的值域为 A=

,

∴(1)当时,上是减函数,此时,的值域为

为满足,又.  12分

(2)当时,上是单调递增函数,此时,的值域为,为满足,又,∴,∴,

综上可知b的取值范围是

考点:1.函数的周期性问题.2.函数的最值.3.两个函数的值域的问题.4.含参数函数的最值问题.

 

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:2013-2014学年安徽省宿州市高三上学期期末考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知函数满足,当;当.

()求函数在(-1,1)上的单调区间;

(),求函数上的零点个数.

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2014届宁夏高三年级第一次月考文科数学试卷(解析版) 题型:选择题

已知函数满足,且是偶函数,当时,,若在区间[-1,3]内,函数有4个零点,则实数的取值范围是(      )

A.               B.       C.         D.

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2015届江苏省高一上学期期中数学试卷(解析版) 题型:填空题

已知函数满足时总有

,则实数的取值范围是___ ____.

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省高三上学期第一次统练理科数学 题型:选择题

已知函数满足:①定义域为;②对任意,有;③当时,.则方程在区间内的解的个数

A.18               B.12              C.11              D.10

 

查看答案和解析>>

同步练习册答案