Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，∠BAC=90°，M，N分别是A₁B₁，BC的中点．
（Ⅰ）证明：AB⊥AC₁；
（Ⅱ）判断直线MN和平面ACC₁A₁的位置关系，并加以证明．

Answer 1

证明：（Ⅰ）由题意知，CC₁⊥平面ABC，
∵AB?平面ABC，∴CC₁⊥AB．
∵∠BAC=90°，即AC⊥AB，且AC∩CC₁=C，
∴AB⊥平面ACC₁A₁．
又∵AC₁?平面ACC₁A₁，∴AB⊥AC₁．

（Ⅱ）MN∥平面ACC₁A₁．
证明如下：设AC的中点为D，连接DN，A₁D．
∵D，N分别是AC，BC的中点，
∴DN∥AB，DN=AB．
又∵A₁M=A₁B₁，且AB∥A₁B₁，AB=A₁B₁
∴A₁M₌^∥DN．
∴四边形A₁DNM是平行四边形．
∴A₁D∥MN．
∵A₁D?平面ACC₁A₁，MN∉平面ACC₁A₁，
∴MN∥平面ACC₁A₁．
分析：（Ⅰ）由题意及线面垂直的定理和定义先证AB⊥平面ACC₁A₁，再证出AB⊥AC₁．
（Ⅱ）先判断平行再证明，由题意再取其它边得中点作辅助线，证明线线平行，再证MN∥平面ACC₁A₁．
点评：本题考查了平行和垂直两种重要的关系，用线面垂直的定理和定义实现线线垂直和线面垂直的转化；一般来说，有中点时再取其它边得中点作辅助线，利用中位线得线线平行，由线面平行的判定定理得线面平行．