Question

已知a、b、x、y∈R⁺且

1

a

＞

1

b

，x＞y，求证：

x

x+a

＞

y

y+b

．

Answer 1

分析：欲证

x

x+a

＞

y

y+b

．即证

x

x+a

-

y

y+b

＞0．通分后利用题目中条件即可证得．

解答：证明：（作差比较法）
∵

x

x+a

-

y

y+b

=

bx-ay

(x+a)(y+b)

，
又

1

a

＞

1

b

且a、b∈R⁺，
∴b＞a＞0．又x＞y＞0，∴bx＞ay．
∴

bx-ay

(x+a)(y+b)

＞0，即

x

x+a

＞

y

y+b

．

点评：本题主要考查不等式的证明，比较法是证明不等式的一种最重要最基本的方法．本题还可用分析法证．证法二：（分析法）∵x、y、a、b∈R⁺，∴要证

x

x+a

＞

y

y+b

，只需证明x（y+b）＞y（x+a），即证xb＞ya．而由

1

a

＞

1

b

＞0，∴b＞a＞0．又x＞y＞0，知xb＞ya显然成立．故原不等式成立．