Question

设函数f(x)=的图象上两点P₁（x₁,y₁）、p₂（x₂,y₂）,若=（+），且点P的横坐标为.

（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；

（2）若S_n=，n∈N^*，求S_n：

（3）记T_n为数列{}的前n项和，若T_n＜a（S_n+1+2）对一切n∈N^*都成立.试求a的取值范围.

Answer 1

（1）证明：∵=（+），∴P是P₁P₂的中点x₁+x₂=1，

∴y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）

=

=1，

∴y_p=（y₁+y₂）=.

（2）解;由（1）知x₁+x₂=1,f(x₁)+f(x₂)=y₁+y₂=1,f(1)=2-,

S_n=f()+f()+…+f（）+f（），

又S_n=f（）+f（）+…+f（）+f（）,

两式相加得

2S_n=f（1）+［f（）+f（）］+［f（）+f（）］+…［f（）+f（）］+f（1）=2f（1）+=n+3-，

∴S_n=.

（3）解;∵=

T_n=4[]=,

T_n＜a(S_n+1+)a＞.

∵n+，当且仅当n=4时，取“=”，

∴，因此，a＞.