Question

8．已知函数f（x）=4m（cos²（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）+n-2m（m≠0）．
（1）求函数f（x）的最小正周期T；
（2）若m=1，函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最小值是1-$\sqrt{3}$，求n；
（3）若n=1，函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最小值是1-$\sqrt{3}$，求m．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，求得函数f（x）的最小正周期T．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得n的值．
（3）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得m的值．

解答 解：（1）由于函数f（x）=4m（cos²（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）+n-2m=2m•cos（2x+$\frac{π}{3}$）+2m$\sqrt{3}$sin2x+n
=2m•[$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x]+2m$\sqrt{3}$sin2x+n=m•cos2x+$\sqrt{3}$m•sin2x+n=2m•sin（2x+$\frac{π}{6}$）+n，
故它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）若m=1，函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+n，在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$ $\frac{2π}{3}$]，
故函数f（x）的最小值是-$\sqrt{3}$+n=1-$\sqrt{3}$，求得n=1．
（3）若n=1，函数f（x）=2m•sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$ $\frac{2π}{3}$]，
函数的最小值是-2m+1=1-$\sqrt{3}$，求得m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．