Question

4．（1）已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，且a₄=15，S₅=55，求过点P（3，a₃）、Q（4，a₄）的直线的斜率；
（2）设等比数列{b_n}的公比q=3，前n项和为T_n，求$\frac{T_4}{b_2}$的值．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d，由等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，求出a₁、d的值，由斜率公式求出直线的斜率；
（2）由等比数列的通项公式、前n项和公式求出T₄和b₂，代入$\frac{T_4}{b_2}$化简即可．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
则依题意得，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=15}\\{5{a}_{1}+10d=55}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=4}\end{array}\right.$，
故直线PQ的斜率为$\frac{a4-a3}{4-3}$=$\frac{d}{1}$=4．…（6分）
（2）由题意得，等比数列{b_n}的公比q=3，
所以T₄=$\frac{{{b_1}（1-{3^4}）}}{1-3}$=40b₁，b₂=3b₁，
所以$\frac{T_4}{b_2}$=$\frac{40}{3}$．…（12分）

点评 本题考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式的应用，以及方程思想，属于中档题．