Question

（2012•孝感模拟）在两道题中选择其中一道题作答，若两道都选，按前一道作答结果计分．
（1）（几何证明选讲题）如右图所示AC和AB分别是圆O的切线，且OC=3，AB=4，延长AO到D点，则△ABD的面积是

48

5

（2）（坐标系与参数方程题）已知圆的极坐标方程为ρ=2COSθ，则该圆的圆心到直线ρsinθ+2ρcosθ=1的距离是

5

5

．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理求出AO，可得AD的值，由直角三角形相似得 

OB

h

=

AO

AD

，求出h 值，代入△ABD的面积公式进行运算．
（2）先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，将极坐标方程为ρ=2cosθ和ρsinθ+2ρcosθ=1化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合点到直线的距离公式求解即得．

解答：解：（1）由题意得 AO=

AB2+OB2

=

16+9

=5，AD=5+3=8，设D到AB的距离等于h，
由直角三角形相似得   

OB

h

=

AO

AD

=

5

8

，h=

24

5

．
故△ABD的面积等于 

1

2

AB•h=

48

5

，
故答案为：

48

5

．
（2）：由ρ=2cosθ，化为直角坐标方程为x²+y²-2x=0，其圆心是A（1，0），
由ρsinθ+2ρcosθ=1得：
化为直角坐标方程为2x+y-1=0，
由点到直线的距离公式，得d=

|2+0-1|

4+1

=

5

5

．
故答案为

5

5

．

点评：（1）本题考查直线和圆相切的性质，相似三角形的性质，求出D到AB的距离等于h是解题的关键．
（2）本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．