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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足条件f(-1),当x∈R时x≤f(x)
(x+1)2
4
恒成立.
(1)求f(1);
(2)求f(x)的解析式;
(3)若x1,x2∈(0,+∞),且
1
x1
1
x2
 =2
,求证:f(x1)•f(x2)≥1.
分析:(1)根据当x∈R时x≤f(x)
(x+1)2
4
恒成立. 令x=1,即可求得;
(2)根据f(1)=1,f(-1)=0,可得方程组,利用 x∈R时,f(x)≥x恒成立,可得ac≥
1
16
,借助于基本不等式可得∴ac≤
1
16
.从而可求函数的解析式;
(3))利用条件
1
x1
+
1
x2
=2
,x1,x2∈(0,+∞),借助于基本不等式,可得(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=3x1x2+1≥4.从而得解.
解答:解:(1)∵x≤f(x)
(x+1)2
4

∴当x=1时.1≤f(1)
(1+1)2
4
=1

∴f(1)=1.
(2)由(1)知a+b+c=1,又f(-1)=0,∴a-b+c=0
从而
b=
1
2
a+c=
1
2
,又x∈R时,f(x)≥x恒成立.
即ax2+(b-1)x+c≥0,故
a>0
△=(b-1)2-4ac≤0

ac≥
1
16

∴c>0    而a+c=
1
2
≥ 2
ac

ac≤
1
16

ac=
1
16

∴a=c=
1
4
.∴f(x)=
1
4
x2+
1
2
x+
1
4

(3)∵
1
x1
+
1
x2
=2
,x1,x2∈(0,+∞),
∴x1+x2=2x1x2
x1+x2≥2
x1x2
 
 (当且仅当x1=x2=1时取等号)
2x1x2≥2
x1x2
 

∴x1x2≥1.
又(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=3x1x2+1≥4.
∴f(x1)•f(x2)=
(x1+1)2
4
(x2+1)2
4
≥ 1
 (当且仅当x1=x2=1时取等号)
点评:本题以二次函数为载体,考查赋值法,考查恒成立问题,同时考查不等式的证明,关键是利用基本不等式求解.
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