Question

3．如图，在正方形ABCD中，P为DC边上的动点，设向量$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{DB}+μ\overrightarrow{AP}$，则λ+μ的取值范围是[1，3]．

Answer 1

分析 建立直角坐标系，把向量用坐标表示出来，根据P的坐标表示出λ+μ的表达式，求其最值即可得到范围．

解答 解：以A为原点，以AB、AD分别为x，y轴建立直角坐标系，设正方形的边长为2，
则C（2，2），B（2，0），D（0，2），P（x，2），x∈[0，2]
∴$\overrightarrow{AC}$=（2，2），$\overrightarrow{DB}$=（2，-2），$\overrightarrow{AP}$=（x，2），
∵$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{DB}+μ\overrightarrow{AP}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}2λ+xμ=2\\-2λ+2μ=2\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}λ=\frac{2-x}{2+x}\\ μ=\frac{4}{2+x}\end{array}\right.$，
∴λ+μ=$\frac{6-x}{2+x}$，
令f（x）=$\frac{6-x}{2+x}$，（0≤x≤2）
∵f（x）在[0，2]上单调递减，
∴f（x）_max=f（0）=3．f（x）_min=f（2）=1．
故λ+μ的取值范围是[1，3]，
故答案为：[1，3]．

点评 本题主要考查向量在几何中的应用，向量的运算，建立坐标系，将问题转化为坐标运算，是解答的关键．