分析 (1)以A为原点,AD为x轴,AB为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出AC与PB所成的角的余弦值.
(2)求出平面AMC的法向量,由此利用向量法能求出PC与平面AMC所成角的正弦值.
解答 解:(1)以A为原点,AD为x轴,AB为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,
A(0,0,0),C($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,0),P(0,0,$\frac{1}{2}$),B(0,1,0),
$\overrightarrow{AC}$=($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,0),$\overrightarrow{PB}$=(0,1,-$\frac{1}{2}$),
设AC与PB所成的角为θ,
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{|\frac{1}{2}|}{\sqrt{\frac{1}{2}}•\sqrt{\frac{5}{4}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$.
∴AC与PB所成的角的余弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$….(6分)
(2)M(0,$\frac{1}{2},\frac{1}{4}$),$\overrightarrow{PC}$=($\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$),$\overrightarrow{AM}$=(0,$\frac{1}{2},\frac{1}{4}$),$\overrightarrow{AC}$=($\frac{1}{2},\frac{1}{2},0$),
设平面AMC的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,-1,2),
设PC与平面AMC所成角为α,
则sinα=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-1|}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$,
∴PC与平面AMC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$.….(12分)
点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查线面角的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2$\sqrt{2}$ | B. | $\sqrt{2}$ | C. | -$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$ | D. | -2$\sqrt{2}$或2$\sqrt{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | {x|-1<x<3} | B. | {x|1<x≤3} | C. | {x|-1≤x<2} | D. | {x|x>2} |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 32 | B. | 36 | C. | 48 | D. | 64 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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