Question

3．定义在R上的函数f（x），满足f（x+4）=f（x），f（1）=f（3），且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+2，-2≤x≤0}\\{\frac{mx+1}{x-3}，0＜x＜2}\end{array}\right.$．
（1）求m的值；
（2）若h（x）=f（x）+f（-x），x∈[-1，1]，求h（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意可得m的方程，解方程可得；
（2）当-1≤x＜0时，可得h（x）=x+2+$\frac{3x+1}{-x-3}$=（x+3）+$\frac{8}{x+3}$-4，换元可得函数的值域；当x=0时，h（x）=2f（0）=4，当0＜x≤1时同理可得y∈[4$\sqrt{2}$-2，2]；综合可得函数的值域．

解答 解：（1）由题意可得f（1）=$\frac{m+1}{1-3}$=-$\frac{m+1}{2}$，
f（3）=f（-1+4）=f（-1）=-1+2=1，
∴-$\frac{m+1}{2}$=1，解得m=-3；
（2）当-1≤x＜0时，h（x）=x+2+$\frac{3x+1}{-x-3}$
=x+2+$\frac{3（x+3）-8}{-（x+3）}$=x-1+$\frac{8}{x+3}$=（x+3）+$\frac{8}{x+3}$-4
令t=x+3∈[2，3），则t+$\frac{8}{t}$-4∈[4$\sqrt{2}$-2，2]；
当x=0时，h（x）=2f（0）=4，
当0＜x≤1时，h（x）=$\frac{-3x+1}{x-3}$-x+2，令-x=m，
则等价于-1≤m＜0时，h（x）=m+2+$\frac{3m+1}{-m-3}$，
与前面形式相同，也有y∈[4$\sqrt{2}$-2，2]；
综合可得函数的值域为：[4$\sqrt{2}$-2，2]∪{4}

点评 本题考查函数的值域，涉及函数的周期性和分类讨论思想，属中档题．