精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
3.定义在R上的函数f(x),满足f(x+4)=f(x),f(1)=f(3),且f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{x+2,-2≤x≤0}\\{\frac{mx+1}{x-3},0<x<2}\end{array}\right.$.
(1)求m的值;
(2)若h(x)=f(x)+f(-x),x∈[-1,1],求h(x)的值域.

分析 (1)由题意可得m的方程,解方程可得;
(2)当-1≤x<0时,可得h(x)=x+2+$\frac{3x+1}{-x-3}$=(x+3)+$\frac{8}{x+3}$-4,换元可得函数的值域;当x=0时,h(x)=2f(0)=4,当0<x≤1时同理可得y∈[4$\sqrt{2}$-2,2];综合可得函数的值域.

解答 解:(1)由题意可得f(1)=$\frac{m+1}{1-3}$=-$\frac{m+1}{2}$,
f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-1+2=1,
∴-$\frac{m+1}{2}$=1,解得m=-3;
(2)当-1≤x<0时,h(x)=x+2+$\frac{3x+1}{-x-3}$
=x+2+$\frac{3(x+3)-8}{-(x+3)}$=x-1+$\frac{8}{x+3}$=(x+3)+$\frac{8}{x+3}$-4
令t=x+3∈[2,3),则t+$\frac{8}{t}$-4∈[4$\sqrt{2}$-2,2];
当x=0时,h(x)=2f(0)=4,
当0<x≤1时,h(x)=$\frac{-3x+1}{x-3}$-x+2,令-x=m,
则等价于-1≤m<0时,h(x)=m+2+$\frac{3m+1}{-m-3}$,
与前面形式相同,也有y∈[4$\sqrt{2}$-2,2];
综合可得函数的值域为:[4$\sqrt{2}$-2,2]∪{4}

点评 本题考查函数的值域,涉及函数的周期性和分类讨论思想,属中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

13.设集合A={x|(x+1)(x-4)≥0},B={x|2a≤x≤3a+2}.
(1)若A∩B≠∅,求实数a的取值范围;
(2)若A∩B=B,求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

14.已知函数f(x)=1og2(x+1)-1og2(x-1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)写出f(x)的单调区间;
(3)若对[3,5]上的任意x都有f(x)<2x+m成立,求m的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

11.已知函数f(x)=lg(-x2+2x+3).
(1)求函数f(x)的值域;
(2)求函数f(x)的单调区间.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

18.设a,b均为正数,且a2+b2=1,2abc=2a•2b•2c,则实数c的取值范围是$[-2\sqrt{2},-1)$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

8.双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2,已知线段F1F2被点(b,0)分成3:1的两段,则此双曲线的离心率为(  )
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$C.$\frac{\sqrt{5}}{2}$D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

15.$\underset{lim}{n→∞}$($\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{5}{6}…\frac{2n-1}{2n}$)=0.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

12.已知二次方程(2m+1)x2-2mx+(m-1)=0有且只有一个实根属于(1,2),且x=1,x=2都不是方程的根,求m的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

13.已知实数x,y满足ln(2x+2y)=0,则x+y的取值范围是(-∞,-2].

查看答案和解析>>

同步练习册答案