Question

已知圆，定点，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足．
（I）求点G的轨迹C的方程；
（II）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）点Q在NP上，点G在MP上，且满足故有|GN|+|GM|=|MP|=6，由椭圆的定义知G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，由定义写出其标准方程即可得到点G的轨迹C的方程．
（II），所以四边形OASB为平行四边形，若存在l使得||=||，则四边形OASB必为矩形即有，令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁x₂+y₁y₂=0，由直线l与曲线C联立求利用根与系数的关系求出x₁x₂，y₁y₂的参数表达式，代入求直线的斜率k，若能求出，则说明存在，若不能求出，则不存在．
解答：解：（I）Q为PN的中点且GQ⊥PN⇒GQ为PN的中垂线⇒|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=3，半焦距，
∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是（5分）
（II）因为，所以四边形OASB为平行四边形
若存在l使得||=||，则四边形OASB为矩形∴
若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，
由得∴，与矛盾，
故l的斜率存在．（7分）
设l的方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由
∴①
y₁y₂=[k（x₁-2）][k（x₂-2）]=②（9分）
把①、②代入x₁x₂+y₁y₂=0得
∴存在直线l：3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四边形OASB的对角线相等．
点评：本题的考点是轨迹方程，考查了定义法求椭圆的轨迹方程与直线与椭圆的相交问题，直线与椭圆的关系问题是圆锥曲线中一类常考的综合题，其规律是联立方程⇒消元得关于x，或y的一元二次方程，再利用根系关系得到两个直线的交点的坐标满足的方程，学习时应注意总结这一共性．