Question

8．已知椭圆$C：\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$上的动点P与其顶点$A（-\sqrt{3}，0）$，$B（\sqrt{3}，0）$不重合．
（Ⅰ）求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；
（Ⅱ）设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM∥PA，ON∥PB时，求△OMN的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设点设P（x₀，y₀），从而可得直线PA与PB的斜率乘积为$\frac{y_0}{{{x_0}+\sqrt{3}}}×\frac{y_0}{{{x_0}-\sqrt{3}}}=\frac{y_0^2}{x_0^2-3}=\frac{6-2x_0^2}{3（x_0^2-3）}=-\frac{2}{3}$
（Ⅱ）设方程为y=kx+m，由两点M，N满足OM∥PA，ON∥PB及（Ⅰ）得直线OM，ON的斜率乘积为-$\frac{2}{3}$，可得到m、k的关系，再用弦长公式及距离公式，求出△OMN的底、高，表示：△OMN的面积即可．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）证明：设P（x₀，y₀），则$\frac{{{x_0}^2}}{3}+\frac{{{y_0}^2}}{2}=1$．
所以直线PA与PB的斜率乘积为$\frac{y_0}{{{x_0}+\sqrt{3}}}×\frac{y_0}{{{x_0}-\sqrt{3}}}=\frac{y_0^2}{x_0^2-3}=\frac{6-2x_0^2}{3（x_0^2-3）}=-\frac{2}{3}$．…（4分）
（Ⅱ）依题直线OM，ON的斜率乘积为$-\frac{2}{3}$．
①当直线MN的斜率不存在时，直线OM，ON的斜率为$±\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，设直线OM的方程
是$y=\frac{{\sqrt{6}}}{3}x$，由$\left\{{\begin{array}{l}{2{x^2}+3{y^2}=6}\\{y=\frac{{\sqrt{6}}}{3}x}\end{array}}\right.$得$x=±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，y=±1．
取$M（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，1）$，则$N（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，-1）$．所以△OMN的面积为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程是y=kx+m，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{2{x^2}+3{y^2}-6=0}\end{array}}\right.$得（3k²+2）x²+6kmx+3m²-6=0．
因为M，N在椭圆C上，
所以△=36k²m²-4（3k²+2）（3m²-6）＞0，解得3k²-m²+2＞0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=-\frac{6km}{{3{k^2}+2}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{3{m^2}-6}}{{3{k^2}+2}}$．$|{MN}|=\sqrt{（{k^2}+1）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\sqrt{（{k^2}+1）[{{（\frac{-6km}{{3{k^2}+2}}）}^2}-4×\frac{{3{m^2}-6}}{{3{k^2}+2}}]}$=$2\sqrt{\frac{{6（{k^2}+1）（3{k^2}-{m^2}+2）}}{{{{（3{k^2}+2）}^2}}}}$．
设点O到直线MN的距离为d，则$d=\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$．
所以△OMN的面积为${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}×d×|{MN}|=\sqrt{\frac{{6{m^2}（3{k^2}-{m^2}+2）}}{{{{（3{k^2}+2）}^2}}}}$…①．
因为OM∥PA，ON∥PB，直线OM，ON的斜率乘积为$-\frac{2}{3}$，所以$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{2}{3}$．
所以$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{{k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}}}{{{x_1}{x_2}}}$=$\frac{{2{m^2}-6{k^2}}}{{3{m^2}-6}}$．
由$\frac{{2{m^2}-6{k^2}}}{{3{m^2}-6}}=-\frac{2}{3}$，得3k²+2=2m²…②
由①②，得${S_{△OMN}}=\sqrt{\frac{{6{m^2}（3{k^2}-{m^2}+2）}}{{{{（3{k^2}+2）}^2}}}}=\sqrt{\frac{{6{m^2}（2{m^2}-{m^2}）}}{{4{m^4}}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
综上所述，${S_{△OMN}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．                      …（13分）

点评 本题考查了直线的斜率公式，三角形的面积公式，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题