Question

【题目】已知二次函数，如果存在实数m，n（m＜n），使得f（x）的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]，则m+n=_____．

Answer 1

【答案】-4

【解析】

根据题意，分析f（x）的对称轴以及最大值，进而分3种情况讨论，判断出函数在[m，n]的单调性，进而构造出满足条件的方程，解方程即可得到答案．

根据题意，二次函数（x﹣1）2的对称轴为x＝1，最大值为；

分3种情况讨论：

①，当m＜n≤1时，f（x）在[m，n]上递增，则有，

解可得m＝﹣4，n＝0，

此时m+n＝﹣4；

②，当m＜1＜n时，f（x）的最小值为f（1）3n，解可得n，

与m＜1＜n矛盾，不符合题意；

③，当1≤m＜n时，f（x）在[m，n]上递减，

若f（x）的值域分别是[3m，3n]，必有3n，则有n，不符合题意；

故m+n＝﹣4；

故答案为：﹣4．