Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足

a

2 n+1

=2

a

2 n

+anan+1，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足bn=

nan

(2n+1)•2n

是否存在正整数m、n（1＜m＜n），使得b₁，b_m，b_n成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

a

2 n+1

=2

a

2 n

+anan+1，化简可得数列{a_n}是公比为2的等比数列，由a₂+a₄=2a₃+4，求出首项，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{b_n}的通项，利用得b₁，b_m，b_n成等比数列，正整数m、n（1＜m＜n），即可得出结论．

解答：解：（Ⅰ）因为

a

2 n+1

=2

a

2 n

+anan+1，
所以（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，
因为a_n＞0，?
所以有2a_n-a_n+1=0，即2a_n=a_n+1，
所以数列{a_n}是公比为2的等比数列，?
由a₂+a₄=2a₃+4得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2．
从而数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ．…（6分）
（II）bn=

nan

(2n+1)•2n

=

n

2n+1

，
若b₁，b_m，b_n成等比数列，则(

m

2m+1

)2=

1

3

•

n

2n+1

，
即

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

，
所以-2m²+4m+1＞0，解得：1-

6

2

＜m＜1+

6

2

．
又m∈N^*，且m＞1，所以m=2，此时n=12．
故当且仅当m=2，n=12，使得b₁，b_m，b_n成等比数列．…（13分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项，正确运用数列递推式是关键．