Question

       对于函数f(x)，若存在x₀∈R,使f(x₀)=x₀成立，则称x₀为f(x)的不动点  已知函数f(x)=ax²+(b+1)x+(b–1)(a≠0)

（1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点；

（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图像上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+对称，求b的最小值.

Answer 1

解析:

（1）当a=1,b=–2时，f(x)=x²–x–3，

由题意可知x=x²–x–3，得x₁=–1,x₂=3.

故当a=1,b=–2时，f(x)的两个不动点为–1,3.

（2）∵f(x)=ax²+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有两个不动点，

∴x=ax²+(b+1)x+(b–1)，

即ax²+bx+(b–1)=0恒有两相异实根

∴Δ=b²–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立.

于是Δ′=(4a)²–16a＜0解得0＜a＜1

故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1.

（3）由题意A、B两点应在直线y=x上，设A(x₁,x₁),B(x₂,x₂)

又∵A、B关于y=kx+对称.

∴k=–1. 设AB的中点为M(x′,y′)

∵x₁,x₂是方程ax²+bx+(b–1)=0的两个根.

∴x′=y′=，

又点M在直线上有，

即

∵a＞0，∴2a+≥2当且仅当2a=即a=∈(0,1)时取等号，

故b≥–，得b的最小值–.