Question

已知点A（0，-2），B（0，4），动点P（x，y）满足

PA

•

PB

=y²-8．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设（1）中所求轨迹与直线y=x+b交于C、D两点，且OC⊥OD（O为原点），求b的值．

Answer 1

（1）∵动点P（x，y）满足

PA

•

PB

=y²-8，
∴（-x，-2-y）•（-x，4-y）=y²-8，
∴x²+y²-2y-8=y²-8，化为x²=2y．
∴动点P的轨迹方程为x²=2y；
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．联立

y=x+b x2=2y

，
化为x²-2x-2b=0，∴△=4+8b＞0．
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=-2b．（*）
∵

OC

⊥

OD

，∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=0，
化为2x1x2+b(x1+x2)+b2=0，
把（*）代入上式得-4b+2b+b²=0，解得b=0或2．满足△＞0．
∴b=0或2．