Question

1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acosC+ccosA=2bcosA．
（1）求A；
（2）若a=$\sqrt{7}$，b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理、和差公式即可得出；
（2）利用余弦定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵acosC+ccosA=2bcosA，由正弦定理可得：sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，
化为：sin（A+C）=sinB=2sinBcosA，sinB≠0，可得cosA=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA，
∴7=2²+c²-4ccos$\frac{π}{3}$，化为c²-2c-3=0，解得c=3．
故△ABC的面积为$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2$×3×$sin\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．