【题目】如图,在四棱柱 中,侧面
和侧面
都是矩形,
是边长为
的正三角形,
分别为
的中点.
(1)求证: 平面
;
(2)求证:平面平面
.
(3)若平面
,求棱
的长度.
【答案】(1)详见解析; (2)详见解析; (3)1.
【解析】试题分析:(1)本问考查线面垂直的证明,根据线面垂直判定定理可知,应证明与平面ABCD内的两条相交直线垂直,根据已知条件侧面
和侧面
都是矩形,所以
,且
,于是问题得证;(2)本问考查面面垂直的证明,应先证明线面垂直,根据题中条件
为正三角形,E为AD中点,所以BE
AD,根据面面垂直的性质定理,则BE
平面
,
平面
,所以问题得证;(3)本问考查线面平行的性质定理,确定经过CF的平面与平面
的交线,从而得到CF平行于交线,然后根据平面几何知识求BC的长度.
试题解析:(1)因为侧面和侧面
都是矩形,所以
,且
.因为
,所以
平面
.
(2)因为是正三角形,且
为
中点,所以
,因为
平面
,而
平面
,所以
.因为
,所以
平面
,因为
平面
,所以平面
平面
.
(3)因为,而
为
的中点,所以
,所以
四点共面.因为
平面
,而平面
平面
,所以
.所以四边形
是平行四边形.所以
.
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【题目】已知数列满足
,
,其中
,
,
为非零常数.
(1)若,
,求证:
为等比数列,并求数列
的通项公式;
(2)若数列是公差不等于零的等差数列.
①求实数,
的值;
②数列的前
项和
构成数列
,从
中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问:是否存在首项为
的四项子数列,使得该子数列中的所有项之和恰好为2017?若存在,求出所有满足条件的四项子数列;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,点A是以线段BC为直径的圆O上一点,AD⊥BC于点D,过点B作圆O的切线,与CA的延长线相交于点E,点G是AD的中点,连接CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P.
(1)求证:BF=EF;
(2)求证:PA是圆O的切线.
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【题目】已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn, S3=a4+6,且a1, a4, a13成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设,求数列{bn}的前n项和.
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【题目】首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排,绿色生态”为主题,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新式艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品,已知该单位每月的处理量最少为300吨,最多为600吨,月处理成本(元)与月处理量
(吨)之间的函数关系可近似地表示为
,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损?
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【题目】已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣x
(1)求f(x)的解析式;
(2)画出f(x)的图象;
(3)若方程f(x)=k有4个解,求k的范围.
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【题目】设集合.如果对于
的每一个含有
个元素的子集
,
中必有4个元素的和等于
,称正整数
为集合
的一个“相关数”.
(Ⅰ)当时,判断5和6是否为集合
的“相关数”,说明理由;
(Ⅱ)若为集合
的“相关数”,证明:
;
(Ⅲ)给定正整数.求集合
的“相关数”
的最小值.
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【题目】为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》,某校计划开设八门研学旅行课程,并对全校学生的选择意向进行调查(调查要求全员参与,每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果整理成条形图如下.
上图中,已知课程为人文类课程,课程
为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向,结合上面图表,采取分层抽样方法从全校抽取
的学生作为研究样本组(以下简称“组M”).
(Ⅰ)在“组M”中,选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少?
(Ⅱ)为参加某地举办的自然科学营活动,从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往,其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动,费用为每人1500元,选择课程G的同学参加,费用为每人2000元.
(ⅰ)设随机变量表示选出的4名同学中选择课程
的人数,求随机变量
的分布列;
(ⅱ)设随机变量表示选出的4名同学参加科学营的费用总和,求随机变量
的期望.
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+α)(A>0,ω>0,﹣ <α<
)的最小正周期是π,且当x=
时,f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式,并作出f(x)在[0,π]上的图象(要列表);
(2)将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,且y=g(x)是偶函数,求m的最小值.
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