Question

【题目】若存在常数k（k∈N* ， k≥2）、q、d，使得无穷数列{an}满足 则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”．
（1）若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3． ①当q=0时，求b2016；
②当q=1时，设{bn}的前3n项和为S3n ， 若不等式 对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；
（2）设{bn}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：①方法一：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b2014=0×b2013=0，∴b2015=b2014+3=3，∴b2016=b2015+3=6．

方法二：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，

∴b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…

∴当n≥4时，{bn}是周期为3的周期数列．

∴b2016=b6=6．

②方法一：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，

∴b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，

∴{b3n﹣1}是以b2=4为首项、6为公差的等差数列，

又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，∴S3n=（b1+b2+b3）+（b4+b5+b6）+…+（b3n﹣2+b3n﹣1+b3n）= ，∵ ，∴ ，设 ，则λ≥（cn）max，

又 ，

当n=1时，3n2﹣2n﹣2＜0，c1＜c2；当n≥2时，3n2﹣2n﹣2＞0，cn+1＜cn，

∴c1＜c2＞c3＞…，∴（cn）max=c2=14，

∴λ≥14，得λ∈[14，+∞）．

方法二：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，

∴b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列，

∴ ，

易知{bn}中删掉{b3n}的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，∴ ，∴ ，

以下同方法一．

（2）解：方法一：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，

则等比数列{bn}的公比为 ，由等比数列的通项公式有 ，

当m∈N*时，bkm+2﹣bkm+1=d，即bqkm+1﹣bqkm=bqkm（q﹣1）=d恒成立，若q=1，则d=0，bn=b；

②若q≠1，则 ，则qkm为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b， ；

经检验，满足条件的{bn}的通项公式为bn=b或 ．

方法二：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，

①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，

由 ，得b+d=bq；由 ，得（b+d）q2=（b+d）q+d，

联立两式，得 或 ，则bn=b或 ，经检验均合题意．

②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，

由 ，得（b+d）2=b（b+2d），得d=0，则bn=b，经检验适合题意．

综上①②，满足条件的{bn}的通项公式为bn=b或

【解析】（1）①方法一：由{bn}的首项、段长、段比、段差可得b2014=0×b2013=0，再由b2015=b2014+3，b2016=b2015+3即可； 方法二：根据{bn}的首项、段长、段比、段差，b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…bn}是周期为3的周期数列即可；
②方法一：由{bn}的首项、段长、段比、段差，b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，{b3n﹣1}是等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1 ， 即可求S3n
方法二：由{bn}的首项、段长、段比、段差b3n+1=b3n ， ∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列即可，（2）方法一：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，等比数列的通项公式有 ，
当m∈N*时，bkm+2﹣bkm+1=d，即bqkm+1﹣bqkm=bqkm（q﹣1）=d恒成立，①若q=1，则d=0，bn=b；②若q≠1，则 ，则qkm为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b， ；方法二：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由 ，得b+d=bq；由 ，得（b+d）q2=（b+d）q+d，求得得d 即可②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由 ，求得得d 即可．
【考点精析】本题主要考查了等比数列的基本性质的相关知识点，需要掌握{an}为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列;{an}既是等差数列又是等比数列== {an}是各项不为零的常数列才能正确解答此题．