Question

设函数f（x）的定义域为[-1，1]，f[cos(α+

π

30

)]=tcos(2α+

π

15

)+sin(α+

π

5

)+cos(α+

11π

30

)
（1）若f（0）=-1，求t的值和f（x）的零点；
（2）记h（t），g（t）分别是f（x）的最大值、最小值，求函数F（t）=h（t）-g（t）的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据cos

π

2

=0得出α=

7π

15

，然后代入函数中，再由特殊角的三角函数值求出结果，然后化简得出f[cos（α+

π

30

）]=2cos²（a+

π

30

）+cos（a+

π

30

）-1，再 令x=cos（a+

π

30

）得出f（x）=2x²+x-1，即可求出零点．
（2）讨论开口方向和对称轴与区间[-1，1]的位置关系，根据函数的单调性求出函数的最值，从而求出函数F（t）的解析式．

解答：解：（1）令α=

7π

15

∴f（cos

π

2

）=tcosπ+sin（

2

3

π）+cos（

5

6

π）=-t=-1
∴t=1
∴f[cos（α+

π

30

）]=cos（2a+

π

15

）+sin（α+

π

5

）+cos（a+

11π

30

）
=cos2（a+

π

30

）+sin[（a+

π

30

）+

π

6

]+cos[（a+

π

30

）+

π

3

]
=2cos²（a+

π

30

）+cos（a+

π

30

）-1
  令x=cos（a+

π

30

）
∴f（x）=2x²+x-1
∵-1≤x≤1
∴x₁=-1 x₂=

1

2

（2）f[cos（α+

π

30

）]=tcos（2a+

π

15

）+sin（α+

π

5

）+cos（a+

11π

30

）
=tcos2（a+

π

30

）+sin[（a+

π

30

）+

π

6

]+cos[（a+

π

30

）+

π

3

]
=2tcos²（a+

π

30

）+cos（a+

π

30

）-t 
  令x=cos（a+

π

30

）
∴f（x）=2tx²+x-t    x∈[-1，1]，
当t＞0时，函数f（x）开口向上
-

1

4t

≤-1时即0＜t≤

1

4

，函数在[-1，1]上为增函数，最大值为h（t）=t+1，最小值为g（t）=t-1
-1＜-

1

4t

＜1时即t＞

1

4

，函数在[-1，-

1

4t

]上为减函数，在[-

1

4t

，1]上为增函数，最大值为h（t）=t+1，最小值为g（t）=

-8t2-1

8t

当t=0时，函数在[-1，1]上为增函数，最大值为h（t）=1，最小值为g（t）=-1
当t＜0时，函数f（x）开口向下
-1＜-

1

4t

＜1时即t＜-

1

4

，函数在[-1，-

1

4t

]上为增函数，在[-

1

4t

，1]上为减函数，最大值为h（t）=

-8t2-1

8t

，最小值为g（t）=t-1
-

1

4t

≥1时即0＞t≥-

1

4

，函数在[-1，1]上为减函数，最大值为h（t）=t-1，最小值为g（t）=t+1
∴F（t）=h（t）-g（t）=

2t+ 1 8t +1  ，t＞ 1 4 2               ， 0≤t≤ 1 4 -2              ，- 1 4 ≤ t＜0 -2t- 1 8t -1   ，t＜- 1 4

点评：本题考查了三角函数的化简求值以及函数零点的求法，求函数的零点时要注意x的范围，以及函数最值的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．