Question

已知圆C₁：（x-2cosθ）²+（y-2sinθ）²=1与圆C₂：x²+y²=1，在下列说法中：
①对于任意的θ，圆C₁与圆C₂始终有四条公切线；
②对于任意的θ，圆C₁与圆C₂始终相切；
③P，Q分别为圆C₁与圆C₂上的动点，则|PQ|的最大值为4．
④直线l：2（m+3）x+3（m+2）y-（2m+5）=0（m∈R）与圆C₂一定相交于两个不同的点；
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：直线与圆,坐标系和参数方程

分析：由题意可得C₁（2cosθ，2sinθ），C₂（0，0），两圆的半径都是1，根据圆心距d=2，正好等于半径之和，可得两圆相外切，从而得到①不正确、②③正确．再根据直线l经过定点M（

1

2

，

1

3

）．而点M在圆C₂：x²+y²=1的内部，可得④正确，从而得出结论．

解答： 解：由题意可得C₁（2cosθ，2sinθ），C₂（0，0），两圆的半径都是1，
由于圆心距d=

(2cosθ-0)2+(2sinθ-0)2

=2，正好等于半径之和，可得两圆相外切，
故对于任意的θ，圆C₁与圆C₂始终有三条公切线，圆C₁与圆C₂始终相切，
若P，Q分别为圆C₁与圆C₂上的动点，则|PQ|的最大值为4，故①不正确、②③正确．
由于直线l：2（m+3）x+3（m+2）y-（2m+5）=0（m∈R），即 （6x+6y-5）+m（2x+3y-2）=0，
由

6x+6y-5=0 2x+3y-2=0

，求得

x= 1 2 y= 1 3

，故直线l经过定点M（

1

2

，

1

3

）．
而点M在圆C₂：x²+y²=1的内部，故直线l与圆C₂一定相交于两个不同的点，故④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题主要考查圆和圆的位置关系，直线经过定点问题，属于基础题．