Question

“a≥0”是“函数f（x）=

x2-2x+a

x

，对任意x∈[3，+∞），f（x）＞0恒成立”的（　　）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既非充分也非必要条件

Answer 1

分析：可对题设中的命题及其逆命题的真假作出判断，再由充分条件与必要条件的定义得出正确选项，可先写出原命题与逆命题，根据命题条件与结论的关系进行判断

解答：解：原命题：若“a≥0”则“函数f（x）=

x2-2x+a

x

，对任意x∈[3，+∞），f（x）＞0恒成立”是一个真命题，当“a≥0”成立时，对任意x∈[3，+∞），函数在上区间上分母为正，而分子x²-2x+a的值也恒正，故可以得出f（x）＞0恒成立，原命题是真命题；
逆命题，若“函数f（x）=

x2-2x+a

x

，对任意x∈[3，+∞），f（x）＞0恒成立”则“a≥0”不是真命题，由于x∈[3，+∞），当f（x）＞0恒成立时，x²-2x+a＞0在[3，+∞）上恒成立，即9-6+a＞0，a＞-3，由此知逆命题成立，
由充分条件必要条件的定义知，“a≥0”是“函数f（x）=

x2-2x+a

x

，对任意x∈[3，+∞），f（x）＞0恒成立”的充分不必要条件
故选A

点评：本题考查函数恒成立问题，解题的关键是理解函数恒成立时所应满足的条件，理解充要条件的定义是作出正确判断的保证