Question

12．函数f（x）=x³+ax²+bx+a²，在x=1时有极值10，
（1）求a，b的值；
（2）求曲线y=f（x）的切线的斜率的最小值．

Answer 1

分析 （1）由求导公式和法则求出f′（x），根据条件列出方程组求出a、b的值，并根据极值的定义进行验证；
（2）由（1）求出的值代入f′（x），利用二次函数的性质求出切线的斜率的最小值．

解答 解：（1）由题意得，f′（x）=3x²+2ax+b，…（2分）
∵在x=1时有极值10，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3+2a+b=0}\\{f（1）=1+a+b+{a}^{2}=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}\right.$，
经验证当a=-3时，x=1不是极值点，
∴a=4，b=-11；…（8分）
（2）当a=4，b=-11时，$f'（x）=3{x^2}+8x-11=3{（x+\frac{4}{3}）^2}-\frac{49}{3}$，…（11分）
∴$x=-\frac{4}{3}$时，切线的斜率最小值为$-\frac{49}{3}$…（12分）

点评 本题考查导数的几何意义，函数极值的条件的应用，以及二次函数的性质，属于中档题．