Question

（2013•牡丹江一模）若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0或y=f（x）的“自公切线”．下列方程：
①x²-y²=1；
②y=x²-|x|；
③y=3sinx+4cosx；
④|x|+1=

4- y 2

对应的曲线中存在“自公切线”的有（　　）

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

Answer 1

分析：化简函数的解析式，结合函数的图象的特征，判断此函数是否有自公切线．

解答：解：①、x²-y²=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；
②、y=x²-|x|=

(x- 1 2  )2- 1 4 (x+ 1 2  )2- 1 4

，在 x=

1

2

 和 x=-

1

2

 处的切线都是y=-

1

4

，故②有自公切线．
③、y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=

3

5

，sinφ=

4

5

，
此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线．
④、由于|x|+1=

4-y2

，即 x²+2|x|+y²-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．
故答案为 C．

点评：本题考查函数的自公切线的定义，函数图象的特征，准确判断一个函数是否有自公切线，是解题的难点．