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在平面直角坐标系中,已知A(-1,2),B(0,x2+2),C(x+2tanθ-1,y+3)三点共线.θ为常数且θ∈(-
π
2
π
2
).
(1)求y关于x的函数y=f (x)的表达式;
(2)是否存在常数tanθ,使函数y=f (x)在[-1,
3
]上的最小值为tanθ?如果存在,求出tanθ,如果不存在,说明理由.
分析:(1)由两个向量共线的性质求得y关于x的函数y=f (x)的表达式.
(2 )函数f(x)的对称轴为x=-tanθ,利用二次函数的性质,分类讨论求得使函数y=f (x)在[-1,
3
]上的最小值为tanθ时的tanθ的值.
解答:解:(1)由于已知A(-1,2),B(0,x2+2),C(x+2tanθ-1,y+3),
故有
AB
=(1,x)
AC
=(x+2tanθ,y+1)

∵A,B,C三点共线,
AB
AC
,故有 y+1=x(x+2tanθ),即 y=f(x)=x2+2tanθ•x-1.…(4分)
(2 )函数f(x)的对称轴为x=-tanθ,
①当-tanθ>
3
时,即tanθ<-
3
,当x=
3
时,函数f(x)取得
最小值为 2+2
3
tanθ=tanθ
,解得 tanθ=-
4
3
+2
11
>-
3
(舍). …(6分)
②当-1≤-tanθ≤
3
时,即-
3
≤tanθ≤1
时,则当x=-tanθ时,
f(x)的最小值为-tan2θ-1=tanθ,故 tan2θ+tanθ+1=0,tanθ无解.…(8分)
③当-tanθ<-1时,即tanθ>1时,则当x=-1时,f(x)的最小值为-2tanθ=tanθ,解得tanθ=0<1(舍). …(10分)
综上:不存在常数tanθ,使函数y=f(x)在[-1,
3
]
上的最小值为tanθ.…(12分)
点评:本题主要考查两个向量共线的性质,求三角函数的最值,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
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π3
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π
2
2
)
,且|
AC
|=|
BC
|

(1)求角θ的值;
(2)设α>0,0<β<
π
2
,且α+β=
2
3
θ
,求y=2-sin2α-cos2β的最小值.

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