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1.已知函数f(x)=xlnx-ax2-x.
(1)当a=$\frac{1}{2}$时,证明:f(x)在定义域上为减函数;
(2)若a∈R,讨论函数f(x)的零点情况.

分析 (1)将a的值代入f(x),求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
(2)问题转化为方程xlnx-ax2-x=0的根情况,由x>0,得到方程可化为$a=\frac{lnx-1}{x}$,令$h(x)=\frac{lnx-1}{x}$,根据函数的单调性判断即可.

解答 解:(1)由题意可知函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=lnx+1-x-1=lnx-x,
令g(x)=lnx-x,则${g^'}(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$,
当0<x<1时,g′(x)>0;
当x>1时,g′(x)<0,
所以g(x)max=g(1)=-1,
即g(x)=lnx-x<0,
所以f′(x)<0,
所以f(x)在定义域上为减函数.
(2)f(x)=xlnx-ax2-x的零点情况,
即方程xlnx-ax2-x=0的根情况,
因为x>0,所以方程可化为$a=\frac{lnx-1}{x}$,
令$h(x)=\frac{lnx-1}{x}$,则${h^'}(x)=\frac{1-(lnx-1)}{x^2}=\frac{2-lnx}{x^2}$,
令h′(x)=0,可得x=e2
当0<x<e2时,h′(x)>0,
当x>e2时,h′(x)<0,
所以$h{(x)_{max}}=h({e^2})=\frac{1}{e^2}$,
且当x→0时,f(x)→-∞;
当x>e2时,h(x)>0,
所以h(x)的图象大致如图示:,
当a>$\frac{1}{{e}^{2}}$时,方程a=$\frac{lnx-1}{x}$没有根,
当a=$\frac{1}{{e}^{2}}$或a≤0时,方程$a=\frac{lnx-1}{x}$有一个根,
当$0<a<\frac{1}{e^2}$时,方程$a=\frac{lnx-1}{x}$有两个根,
所以当$a>\frac{1}{e^2}$时,函数f(x)无零点,
当$a=\frac{1}{e^2}$或a≤0时,函数f(x)有一个零点,
当$0<a<\frac{1}{e^2}$时,函数f(x)有两个零点.

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数的零点问题,是一道中档题.

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