Question

6．如图，抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点为（0，1），圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为2的圆M与y轴相切．
（Ⅰ）求抛物线E及圆M的方程；
（Ⅱ）过P（2，0）作两条相互垂直的直线，与抛物线E相交于A，B两点，与圆M相交于C，D两点，N为线段CD的中点，当${S_{△NAB}}=4\sqrt{5}$，求AB所在的直线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点为（0，1），圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为2的圆M与y轴相切，即可求抛物线E及圆M的方程；
（Ⅱ）联立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=k（x-2）\end{array}\right.$⇒x²-4kx+8k=0$⇒\left\{\begin{array}{l}△=16{k^2}-32k＞0\\{x_A}+{x_B}=4k\\{x_A}•{x_B}=8k\end{array}\right.$，又与直线AB垂直的直线CD与圆M相交，可得k的范围，利用${S_{△NAB}}=4\sqrt{5}$，求出k，即可求AB所在的直线方程．

解答 解：（Ⅰ） 抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点为（0，1），
∴p=2，∴抛物线E：x²=4y，…（3分）
∵圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为2的圆M与y轴相切，
∴圆M的方程：（x-2）²+（y-4）²=4；             …（4分）
（Ⅱ）设直线AB的斜率为k（k显然存在且不为零）
立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=k（x-2）\end{array}\right.$⇒x²-4kx+8k=0$⇒\left\{\begin{array}{l}△=16{k^2}-32k＞0\\{x_A}+{x_B}=4k\\{x_A}•{x_B}=8k\end{array}\right.$
又与直线AB垂直的直线CD与圆M相交，
则$-\frac{1}{k}∈（-∞，-\sqrt{3}）∪（\sqrt{3}，+∞）$即$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜k＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，而16k²-32k＞0，故$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜k＜0$．…（8分）${S_{△NAB}}=\frac{1}{2}|AB|•|NP|=\frac{1}{2}|AB|•d$（其中d表示圆心M到直线AB的距离）=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{16{k^2}-32k}•\frac{4}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=8\sqrt{{k^2}-2k}$…（11分）
又${S_{△NAB}}=4\sqrt{5}$，所以${k^2}-2k=\frac{5}{4}$，解得$k=-\frac{1}{2}$或$k=\frac{5}{2}$（舍）
所以AB所在的直线方程为：$y=-\frac{1}{2}（x-2）$即$y=-\frac{1}{2}x+1$．…（12分）

点评 本题考查抛物线E及圆M的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．