Question

已知定点A（-2，0），动点B是圆F：（x-2）²+y²=64（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P；
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）直线y=

3

x+1与曲线E交于M，N两点，试问在曲线E位于第二象限部分上是否存在一点C，使

OM

+

ON

与

OC

共线（O为坐标原点）？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的定义判断点P的轨迹 是以A、F 为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的方程．
（2）先假设存在一点C并设出坐标，以及设出M，N的坐标，根据向量共线得出x0=

x1+x2

m

，y0=

y1+y 2

m

，然后联立直线方程和椭圆方程，得出x₁+x₂，y₁+y₂，进而得出x0=-

8 3

15m

，

y

0

=

2

5m

，求出m的值，即可求出C的坐标．

解答：解：（1）由题意|PA|=|PB|，且|PB|+|PF|=8，
∴|PA|+|PF|=8＞|AF|．
因此点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆．（4分）
设所求椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∴2a=8，a=4，a²-b²=c²=2²=4∴b²=12
∴点P的轨迹方程为

x2

16

+

y2

12

=1．（6分）
（2）假设存在满足题意的点C（x₀，y₀）（x₀＜0，y₀＞0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

OM

+

ON

=m

OC

（m∈R，且m≠0），
则（x₁+x₂，y₁+y₂）=m（x₀，y₀）．
∴x₀=

x1+x2

m

，y₀=

y1+y2

m

．
由

y= 3 x+1 x2 16 + y2 12 =1

，得15x2+8

3

x-44=0．（8分）
∴x1+x2=-

8 3

15

，y1+y2=

3

(x1+x2)+2=

2

5

．∴x0=-

8 3

15m

，

y

0

=

2

5m

．（10分）
又

x 2 0

16

+

y 2 0

12

=1，解得m2=

1

15

．∴m=±

15

15

．
又∵x₀＜0，y₀＞0
∴m=

15

15

所以存在满足题意的点C（-

8 5

5

，

2 15

5

）（14分）

点评：本题考查了椭圆的定义以及直线与圆锥曲线问题，（1）问的关键是灵活掌握椭圆的定义．属于难题．