Question

曲线y=x³在点（a，a³）（a＞0）处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为

1

6

，则a=

 

．

Answer 1

分析：先求出在点（a，a³）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=a处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．

解答：解：∵y=x³，
∴y'=3x²，当x=a时，y'=3得切线的斜率为3a²，所以k=3a²；
所以曲线在点（a，a³）处的切线方程为：
y-a³=3a²×（x-a），即3a²x-y-2a³=0．
令y=o得：x=

2

3

a，
∴切线与x轴、直线x=1所围成的三角形的面积为：
S=

1

2

×（a-

2

3

）×a3=

1

6

∴a=1
故答案为1．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题．