Question

已知点A(a，a+

1

2

)，B(a+1，a+

3

2

)，动点P到点M（1，0）比到y轴距离大1，其轨迹为曲线C，且线段AB与曲线C存在公共点，则a得取值范围是（　　）

• A、（-∞，+∞）
• B、[

  3

  2

  -

  2

  ，

  3

  2

  +

  2

  ]
• C、[

  1

  2

  -

  2

  ，

  3

  2

  -

  2

  ]∪[

  1

  2

  +

  2

  ，

  3

  2

  +

  2

  ]
• D、[-

  3

  2

  ，

  3

  2

  -

  2

  ]∪[

  1

  2

  +

  2

  ，

  3

  2

  +

  2

  ]

Answer 1

分析：由题意有可得点P轨迹为曲线C：y²=4x．过A，B的线段方程为：y=x+

1

2

（a≤x≤a+1），由线段与抛物线有公共点?

y=x+ 1 2 y2=4x

在x∈[a，a+1]有解?x2-3x+

1

4

=0在x∈[a，a+1]上有解，根据方程根的分布可求

解答：解：由题意有可得 动点P到点M（1，0）等于它到直线x=-1 的距离，故其轨迹为曲线C：y²=4x．
过A，B的线段方程为：y=x+

1

2

（a≤x≤a+1）
由线段与抛物线有公共点?

y=x+ 1 2 y2=4x

在x∈[a，a+1]有解?x2-3x+

1

4

=0在x∈[a，a+1]上有解
a≤

3+2 2

2

≤a+1或a≤

3-2 2

2

≤a+1
解不等式可得，

1

2

-

2

≤a≤

3

2

-

2

或

1

2

+

2

≤a≤

3

2

+

2

故选C．

点评：本题主要考查了抛物线的定义的应用，及直线与抛物线的位置关系的应用，体现了函数与方程的相互转化的思想在解题中的应用．