Question

12．如图，在曲线C：y=x²，x∈[0，1]上取点P（t，t²），过点P作x轴的平行线l，曲线C于直线x=0，x=1及直线l围成的图形面积分别记为S₁、S₂．
（1）求t的值，使S₁=S₂；
（2）求t的值，使S=S₁+S₂最小．

Answer 1

分析 （1）考虑用定积分求两曲线围成的封闭图形面积，再根据S₁=S₂就可求出t值．
（2）由（1）可求当S₁+S₂，化简后，为t的三次函数，再利用导数求最小值，就可求出t值．

解答 解：（1）设点P的横坐标为t（0＜t＜1），则P点的坐标为（t，t²），
S₁=t³-${∫}_{0}^{t}$x²dx=$\frac{2}{3}$t³，S₂=${∫}_{t}^{1}$x²dx-t²（1-t）=$\frac{2}{3}$t³-t²+$\frac{1}{3}$，
因为S₁=S₂，所以t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）S=S₁+S₂=$\frac{4}{3}$t³-t²+$\frac{1}{3}$，
则S′=4t²-2t，令S′=0得t=0，t=$\frac{1}{2}$．
因为0＜t＜$\frac{1}{2}$时，S′＜0；$\frac{1}{2}$＜t＜1时，S′＞0，
所以，当t=$\frac{1}{2}$时，S_min=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了用定积分求两曲线所围图形面积，以及导数求最值，做题时应认真分析．