Question

已知函数f（x），g（x）同时满足：g（x-y）=g（x）g（y）+f（x）f（y）；f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1，求g（0），g（1），g（2）的值．

Answer 1

解：由题设条件，令x=y=0，则有
g（0）=g²（0）+f²（0）
又f（0）=0，故g（0）=g²（0）
解得g（0）=0，或者g（0）=1
若g（0）=0，令x=y=1得g（0）=g²（1）+f²（1）=0
又f（1）=1知g²（1）+1=0，此式无意义，故g（0）≠0
此时有g（0）=g²（1）+f²（1）=1
即 g²（1）+1=1，故g（1）=0
令x=0，y=1得g（-1）=g（0）g（1）+f（0）f（-1）=0
令x=1，y=-1得g（2）=g（1）g（-1）+f（1）f（-1）=-1
综上得g（0）=1，g（1）=0，g（2）=-1
分析：由题设条件知，可以采用赋值的方法来求值，可令x求g（0），再令x=y=1求g（1）的值，令x=1，y=-1求g（2）的值
点评：本题考点是抽象函数及其运用，考查了根据函数的性质进行灵活赋值求函数值的能力，此题的正确确求解需要对题设条件进行综合分析恰当使用才能达到解题的目的，本题综合性强，题后要注意总结做题的规律．