Question

已知双曲线-=1(a＞0,b＞0)的左、右两个焦点分别为F₁、F₂，P为双曲线左支上的一点，P到左准线的距离为d.

(1)若双曲线的一条渐近线是y=x,问是否存在点P使d,|PF₁|,|PF₂|成等比数列？若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由；

(2)在已知双曲线的左支上使d,|PF₁|,|PF₂|成等比数列的点P存在时，求离心率e的取值范围.

Answer 1

解：(1)法一：由y=x是渐近线，得=,

c²=a²+b²=4a²,∴e=2,

    设P点的坐标为(x₀,y₀),由双曲线的第二定义，得|PF₁|=ed=2d,|PF₂|=e(-x₀),d=--x₀,

∴e²d²=d·e(-x₀),

    化简得2(--x₀)=-x₀

    解得x₀=-＜-a,∴点P存在.

法二：同解法一得,|PF₁|=ed=2d,

∴|PF₂|=2a+|PF₁|=2a+2d,

    又∵|PF₁|²=d·|PF₂|，∴有4d²=d·(2a+2d)解得d=a,

    又∵d_min=--(-a)=a-=a-=,d=a＞,

∴存在点P，使d,|PF₁|,|PF₂|成等比数列.

(2)法一：由(1)得d=--x₀,|PF₁|²=d·|PF₂|∴有e²d²=d·e(-x₀),∴ed=-x₀

    即e(--x₀)=(-x₀),

解得x₀=≤-a,∴1＜e≤1+.

法二：由==e,可得|PF₂|=e|PF₁|,

    又|PF₂|-|PF₁|=2a,∴|PF₁|=,|PF₂|=.

∵|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|,而|F₁F₂|=2c=2ea,

∴≥2ea,

    又∵a＞0,e＞1,∴e²-2e-1≤0，解得1＜e≤1+.

法三：由(1)得e²d²=d(2a+ed).

    解得d=≥d_min=-+a,

∴有e²-2e-1≤0，解得1＜e≤1+.