Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB=8，BC=6，其中A（﹣4，0）、B（4，0）．

（1）若A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，求该椭圆的方程；
（2）若A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，求双曲线的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，

根据椭圆的定义：丨CA丨+丨CB丨=16=2a，

∴a=8，…4分

在椭圆中：b2=a2﹣c2=64﹣16=48，

∴椭圆方程为： ；

（2）解：∵A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，

根据双曲线的定义：丨CA丨﹣丨CB丨=4=2a′，

∴a′=2，…10分

在双曲线中：b2=c2﹣a′2=16﹣4=12，

∴双曲线方程为： ．

【解析】（1）由椭圆的定义：丨CA丨+丨CB丨=16=2a，求得a=8，则b2=a2﹣c2=64﹣16=48，即可求得椭圆方程；（2）根据双曲线的定义：丨CA丨﹣丨CB丨=4=2a′，则求得a′=2，则b2=c2﹣a′2=16﹣4=12，即可求得双曲线的标准方程．