Question

在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD=2，平面PBC⊥平面ABCD
（1）求证：AB⊥平面PBC；
（2）求三棱锥C-ADP的体积；
（3）在棱PB上是否存在点M使CM∥平面PAD？若存在，求的值．若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC．
因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB?平面ABCD，
所以AB⊥平面PBC；
（2）解：取BC的中点O，连接PO

∵PB=PC，∴PO⊥BC
∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC
∴PO⊥平面ABCD，
在等边三角形PBC中，PO=
∴==
（3）解：在棱PB上存在点M使得CM∥平面PAD，此时=．理由如下：
取AB的中点N，连接CM，CN，MN，则MN∥PA，AN=AB．
因为AB=2CD，所以AN=CD．
因为AB∥CD，所以四边形ANCD是平行四边形．
所以CN∥AD．
因为MN∩CN=N，PA∩AD=A，所以平面MNC∥平面PAD
因为CM?平面MNC，所以CM∥平面PAD．
分析：（1）证明AB⊥平面PBC，利用面面垂直的性质，根据AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，即可得证；
（2）取BC的中点O，连接PO，证明PO⊥平面ABCD，即可求得结论；
（3）取AB的中点N，连接CM，CN，MN，证明平面MNC∥平面PAD，可得CM∥平面PAD．
点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥的体积，考查线面平行，解题的关键是掌握线面垂直、线面平行的判定方法，属于中档题．