Question

函数f（x）的定义域为A，若x₁、x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：
①若函数f（x）是f（x）=x²（x∈R），则f（x）一定是单函数；
②若f（x）为单函数，x₁、x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
③若定义在R上的函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数；
④若函数f（x）是周期函数，则f（x）一定不是单函数；
⑤若函数f（x）是奇函数，则f（x）一定是单函数．
其中的真命题的序号是

②④

．

Answer 1

分析：利用单函数的定义分别对五个命题进行判断，即可得出正确结论．

解答：解：①若函数f（x）是f（x）=x²，则由f（x₁）=f（x₂）得

x

2 1

=

x

2 2

，得到x₁=±x₂，所以①不是单函数，所以①错误．
②若f（x）为单函数，则f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，即x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂），所以②正确．
③当函数单调时，在单调区间上必有f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，但在其他定义域上，不一定是单函数，所以③错误．
④若函数f（x）是周期函数，则满足f（x₁）=f（x₂），则有x₁=kT+x₂，所以④正确．
⑤若函数f（x）是奇函数，比如f（x）=sinx，是奇函数，则满足f（x₁）=f（x₂），则x₁，x₂，不一定相等．所以⑤错误．
故答案为：②④．

点评：本题主要考查函数的性质的推导和判断，考查学生分析问题的能力，综合性较强．